Определить направление активной и реактивной мощности по векторной диаграмме напряжений

Задача

Векторная диаграмма напряжений    

Рис. 1. Схема линии и векторная диаграмма напряжений.

 

Показать направления активной (P) и реактивной (Q) мощности в ЛЭП, если задана векторная диаграмма напряжений по концам линии.

Решение

Это задание взято из экзаменационных тестов по дисциплине «Электроэнергетические системы и сети». Подразумевается, что студент, исправно посещавший все занятия, применит в данном случае мнемоническое правило:

«Активная мощность направлена от опережающего вектора напряжения к отстающему, а реактивная мощность – от большего по модулю вектора напряжения к меньшему».

В данном случае, опережающим является вектор напряжения Ů2, а большим по модулю – вектор Ů1, поэтому поток активной мощности (P) направлен от Ů2 к Ů1, а поток реактивной мощности (Q) – от Ů1 к Ů2. Решение задачи изображено на рис. 2.

Векторная диаграмма напряжений

Рис. 2. Направление потоков активной и реактивной мощностей.

На решение этой задачи у студента уйдет около 1 минуты – прочитать условие, вспомнить правило, проставить стрелочки. Тест предназначен для проверки у студента «широты» знаний по предмету, поэтому большего от студента и не требуется. Но что если проверить также и «глубину» знаний, задав вопрос: «Во всех ли случаях работает это мнемоническое правило?». Думается мне, что здесь большинство студентов «сядут в калошу».

Попробуем поставить себя на место студента и ответим на поставленный вопрос.

Для начала, построим векторную диаграмму напряжений для указанных направлений потоков P и Q. Зададим направление тока в ЛЭП – от Ů2 к Ů1 (совпадает с направлением активной мощности). В соответствии со вторым правилом Кирхгофа:

Ů2 = Ů1 + ΔŮ = Ů1 + İ·Zлэп = Ů1 + İ·(Rлэп + j·Xлэп),       (1)

  • где ΔŮ – падение напряжения в ЛЭП;
  • İ – ток в ЛЭП;
  • Zлэп – полное сопротивление проводов ЛЭП;
  • Rлэп – активное сопротивление проводов ЛЭП;
  • Xлэп – индуктивное сопротивление проводов ЛЭП.

Для выбранного направления тока (с учётом направлений потоков активной и реактивной мощностей) его активная и реактивная составляющие имеют положительный знак:

İ = Iа + j·Iр,                 (2)

  • где Iа – активная составляющая тока;
  • Iр – реактивная составляющая тока.

Выполним построение векторной диаграммы напряжений в соответствии с формулами (1) и (2), см. рис. 3.

Векторная диаграмма напряжений

Рис. 3. Векторная диаграмма напряжений: направление тока от Ů2 к Ů1.

Вектора İ и İ·Rлэп являются сонаправленными, а вектор İ·Xлэп повёрнут относительно İ·Rлэп на 90 градусов против часовой стрелки.

Разумеется, выбор направления тока не влияет на взаимное расположение векторов напряжений Ů1 и Ů2. Если задать направление тока от Ů1 к Ů2, то второе правило Кирхгофа запишется так:

 Ů1 = Ů2 + ΔŮ = Ů2 + İ·Zлэп = Ů2 + İ·(Rлэп + j·Xлэп),       (3)

а сам ток имеет вид:

İ = -Iа-j·Iр                  (4)

Векторную диаграмму напряжений для этого случая см. на рис. 4.

Векторная диаграмма напряжений

Рис. 4. Векторная диаграмма напряжений: направление тока от Ů1 к Ů2.

Теперь вернёмся к исходному вопросу и проверим, для всех ли случаев выполняется правило: «Активная мощность направлена от опережающего вектора напряжения к отстающему, а реактивная мощность – от большего по модулю вектора напряжения к меньшему».

Проанализируем диаграмму, приведённую на рис. 4. Взаимное положение векторов напряжения Ů1 и Ů2 определяется величиной и направлением вектора падения напряжения ΔŮ. Изменяя угол между током и напряжением, а также меняя сопротивления ЛЭП, попробуем найти такое их сочетание, при котором взаимное положение векторов Ů1 и Ů2 не изменится.

Допустим, в ЛЭП выполнена продольная компенсация индуктивного сопротивления линии, и значит, Xлэп = 0. Запишем второе правило Кирхгофа:

Ů1 = Ů2 + ΔŮ = Ů2 + İ·Rлэп       (5)

Очевидно, что вектор падения напряжения в ЛЭП и вектор тока являются сонаправленными, следовательно, векторную диаграмму можно перерисовать, изменив угол между током и напряжением соответствующим образом (см. рис. 5).

Векторная диаграмма напряжений

Рис. 5. Векторная диаграмма напряжений: Xлэп = 0.

Выражение для тока имеет вид:

İ = Iа-j·Iр                   (6)

 

что соответствует направлению потока активной мощности от Ů1 к Ů2, так как направление тока было выбрано от Ů1 к Ů2, и действительная часть вектора тока является положительной величиной (то есть совпадает с выбранным направлением). Как видим, мнемоническое правило дало сбой. Но это ещё не значит, что задача решена неверно, ведь в условии ничего не сказано про продольную компенсацию индуктивного сопротивления ЛЭП. Действительно, это так. Но в задаче также не сказано об исполнении ЛЭП – воздушная или кабельная. И это для данной задачи очень существенное условие из-за соотношения активной и индуктивной составляющей сопротивления ЛЭП.

Для воздушной ЛЭП высокого напряжения (35 кВ и выше) характерно соотношение Xлэп >> Rлэп. Для кабельных линий среднего и низкого напряжений, в случае прокладки фазных проводников в одной оболочке, это соотношение резко противоположно, т.е. Xлэп << Rлэп. Векторная диаграмма для кабельной ЛЭП приведена на рис. 6 (также, см. формулу 3).

Векторная диаграмма напряжений

Рис. 6. Векторная диаграмма напряжений: Xлэп << Rлэп.

Как видим, взаимное положение векторов напряжения Ů1 и Ů2 не изменилось, но поток мощности направлен всё так же от Ů1 к Ů2, а не от Ů2 к Ů1, как подразумевалось в экзаменационном тесте.

Выводы

  1. Задание в экзаменационном тесте составлено некорректно, так как не указано исполнение ЛЭП – воздушная или кабельная (фазные проводники в одной оболочке кабеля).
  2. Мнемоническое правило «Активная мощность направлена от опережающего вектора напряжения к отстающему, а реактивная мощность – от большего по модулю вектора напряжения к меньшему» работает при условии Xлэп >> Rлэп.

Эту статью можно обсудить ниже в комментариях или на форуме.

Оставить комментарий

Войти