Определить направление активной и реактивной мощности по векторной диаграмме напряжений

Задача

Рис. 1. Схема линии и векторная диаграмма напряжений.

Решение

Это задание взято из экзаменационных тестов по дисциплине «Электроэнергетические системы и сети». Подразумевается, что студент, исправно посещавший все занятия, применит в данном случае мнемоническое правило:

«Активная мощность направлена от опережающего вектора напряжения к отстающему, а реактивная мощность – от большего по модулю вектора напряжения к меньшему».

В данном случае, опережающим является вектор напряжения Ů₂, а большим по модулю – вектор Ů₁, поэтому поток активной мощности (P) направлен от Ů₂ к Ů₁, а поток реактивной мощности (Q) – от Ů₁ к Ů₂. Решение задачи изображено на рис. 2.

Рис. 2. Направление потоков активной и реактивной мощностей.

На решение этой задачи у студента уйдет около 1 минуты – прочитать условие, вспомнить правило, проставить стрелочки. Тест предназначен для проверки у студента «широты» знаний по предмету, поэтому большего от студента и не требуется. Но что если проверить также и «глубину» знаний, задав вопрос: «Во всех ли случаях работает это мнемоническое правило?». Думается мне, что здесь большинство студентов «сядут в калошу».

Попробуем поставить себя на место студента и ответим на поставленный вопрос.

Для начала, построим векторную диаграмму напряжений для указанных направлений потоков P и Q. Зададим направление тока в ЛЭП – от Ů₂ к Ů₁ (совпадает с направлением активной мощности). В соответствии со вторым правилом Кирхгофа:

Ů₂ = Ů₁ + ΔŮ = Ů₁ + İ·Z_лэп = Ů₁ + İ·(R_лэп + j·X_лэп),       (1)

• где ΔŮ – падение напряжения в ЛЭП;
• İ – ток в ЛЭП;
• Z_лэп – полное сопротивление проводов ЛЭП;
• R_лэп – активное сопротивление проводов ЛЭП;
• X_лэп – индуктивное сопротивление проводов ЛЭП.

Для выбранного направления тока (с учётом направлений потоков активной и реактивной мощностей) его активная и реактивная составляющие имеют положительный знак:

İ = I_а + j·I_р,                 (2)

• где I_а – активная составляющая тока;
• I_р – реактивная составляющая тока.

Выполним построение векторной диаграммы напряжений в соответствии с формулами (1) и (2), см. рис. 3.

Рис. 3. Векторная диаграмма напряжений: направление тока от Ů₂ к Ů₁.

Вектора İ и İ·R_лэп являются сонаправленными, а вектор İ·X_лэп повёрнут относительно İ·R_лэп на 90 градусов против часовой стрелки.

Разумеется, выбор направления тока не влияет на взаимное расположение векторов напряжений Ů₁ и Ů₂. Если задать направление тока от Ů₁ к Ů₂, то второе правило Кирхгофа запишется так:

 Ů₁ = Ů₂ + ΔŮ = Ů₂ + İ·Z_лэп = Ů₂ + İ·(R_лэп + j·X_лэп),       (3)

а сам ток имеет вид:

İ = -I_а-j·I_р                  (4)

Векторную диаграмму напряжений для этого случая см. на рис. 4.

Рис. 4. Векторная диаграмма напряжений: направление тока от Ů₁ к Ů₂.

Теперь вернёмся к исходному вопросу и проверим, для всех ли случаев выполняется правило: «Активная мощность направлена от опережающего вектора напряжения к отстающему, а реактивная мощность – от большего по модулю вектора напряжения к меньшему».

Проанализируем диаграмму, приведённую на рис. 4. Взаимное положение векторов напряжения Ů₁ и Ů₂ определяется величиной и направлением вектора падения напряжения ΔŮ. Изменяя угол между током и напряжением, а также меняя сопротивления ЛЭП, попробуем найти такое их сочетание, при котором взаимное положение векторов Ů₁ и Ů₂ не изменится.

Допустим, в ЛЭП выполнена продольная компенсация индуктивного сопротивления линии, и значит, X_лэп = 0. Запишем второе правило Кирхгофа:

Ů₁ = Ů₂ + ΔŮ = Ů₂ + İ·R_лэп       (5)

Очевидно, что вектор падения напряжения в ЛЭП и вектор тока являются сонаправленными, следовательно, векторную диаграмму можно перерисовать, изменив угол между током и напряжением соответствующим образом (см. рис. 5).

Рис. 5. Векторная диаграмма напряжений: X_лэп = 0.

Выражение для тока имеет вид:

İ = I_а-j·I_р                   (6)

что соответствует направлению потока активной мощности от Ů₁ к Ů₂, так как направление тока было выбрано от Ů₁ к Ů₂, и действительная часть вектора тока является положительной величиной (то есть совпадает с выбранным направлением). Как видим, мнемоническое правило дало сбой. Но это ещё не значит, что задача решена неверно, ведь в условии ничего не сказано про продольную компенсацию индуктивного сопротивления ЛЭП. Действительно, это так. Но в задаче также не сказано об исполнении ЛЭП – воздушная или кабельная. И это для данной задачи очень существенное условие из-за соотношения активной и индуктивной составляющей сопротивления ЛЭП.

Для воздушной ЛЭП высокого напряжения (35 кВ и выше) характерно соотношение X_лэп >> R_лэп. Для кабельных линий среднего и низкого напряжений, в случае прокладки фазных проводников в одной оболочке, это соотношение резко противоположно, т.е. X_лэп << R_лэп. Векторная диаграмма для кабельной ЛЭП приведена на рис. 6 (также, см. формулу 3).

Рис. 6. Векторная диаграмма напряжений: X_лэп << R_лэп.

Как видим, взаимное положение векторов напряжения Ů₁ и Ů₂ не изменилось, но поток мощности направлен всё так же от Ů₁ к Ů₂, а не от Ů₂ к Ů₁, как подразумевалось в экзаменационном тесте.

Выводы

1. Задание в экзаменационном тесте составлено некорректно, так как не указано исполнение ЛЭП – воздушная или кабельная (фазные проводники в одной оболочке кабеля).
2. Мнемоническое правило «Активная мощность направлена от опережающего вектора напряжения к отстающему, а реактивная мощность – от большего по модулю вектора напряжения к меньшему» работает при условии X_лэп >> R_лэп.

Эту статью можно обсудить ниже в комментариях или на форуме.