Минимальный ток короткого замыкания в случае параллельного соединения линий
Автор: E.J.
В сетях напряжением 400/230 В для проверки чувствительности аппаратов защиты необходимо выполнять расчет величины минимального тока короткого замыкания (КЗ). Как правило, специалистом выполняется расчет тока однофазного короткого замыкания (ОКЗ) в наиболее удаленной точке линии, то есть в конце. Действительно, если в линии отсутствуют проводники, включенные параллельно (то есть под один зажим), то максимальное сопротивление линии току ОКЗ наблюдается в том случае, если точка ОКЗ находится в конце линии (см. формулу 1).
\(\underline Z_л=\underline Z_{пог}\cdot L\) (1)
где \(Z_л\) – полное сопротивление линии, Ом;
\(Z_{пог}\) – погонное полное сопротивление линии, Ом/км;
\(L\) – длина линии, км.
\(\underline Z_{пог}=R_{пог}+j\cdot X_{пог}\) (2)
где \(R_{пог}\) – погонное активное сопротивление линии, Ом/км;
\(X_{пог}\) – погонное индуктивное сопротивление линии, Ом/км.
При этом, в погонном сопротивлении линии уже учтены сопротивления фазного (ф) и нулевого (н) проводников, то есть
\(R_{пог}=R_{пог.ф}+R_{пог.н}\) (3)
\(X_{пог}=X_{пог.ф}+X_{пог.н}\) (4)
Рассмотрим следующую конфигурацию сети, см. схему на рис.1.
Рис. 1. Пример конфигурации питающей линии с паралельным соединением проводников.
Электроснабжения потребителя осуществляется от трансформатора по линии, состоящей из 3-х параллельно соединенных 4-проводных линий. Таким образом, каждая фаза (A, B, C) и PEN-проводник состоят из 3-х параллельно соединенных проводников. Как правило, такое соединение допускается для линий с одинаковым исполнением, то есть должны быть одинаковы:
- тип линии – воздушная, кабельная, шинопровод;
- способ прокладки;
- материал проводника, его сечение и количество проводников в каждой линии;
- длина линии.
Другими словами, полные сопротивления параллельно подключаемых проводников должны быть равны. Выполнение этого условия позволяет предотвратить ситуацию неравномерной токовой загрузки параллельно подключенных проводников.
Исходя из этого, принимаем:
- \(L_1=L_2=L_3=L\) – длины всех линий равны;
- \(\underline Z_{л.1}=\underline Z_{л.2}=\underline Z_{л.3}=\underline Z_{л}\) – сопротивления всех линий равны.
Эквивалентное сопротивление линии току ОКЗ в случае, когда ОКЗ возникает в конце линии (см. рис.1) будет равно:
\(\displaystyle {\underline Z_{экв}=\frac {\underline Z_л}{3}}\) (5)
Для общего случая при произвольном количестве линий \(N\):
\(\displaystyle {\underline Z_{экв}=\frac {\underline Z_л}{N}}\) (6)
где \(N\) – натуральное число, большее 1 (т.е. \(N=2, 3, 4\) и т.д.).
Теперь предположим, что точка ОКЗ находится не в конце линии, а в произвольной точке этой линии. При этом наиболее вероятна ситуация, что поврежден только один проводник из \(N\)-количества параллельно соединенных проводников (см. рис.2).
Рис. 2. Расположение точки ОКЗ в произвольном месте на линии.
Возникает задача о нахождении такого расположения точки ОКЗ, при котором эквивалентное сопротивление линии будет максимальным, а следовательно, ток ОКЗ – минимальным.
Введем следующие обозначения:
- \(\underline Z_x\text { }(L_x)\) – полное сопротивление (длина) участка поврежденной линии между питающими шинами и точкой ОКЗ;
- \(\underline Z_л-Z_x\text { }(L-L_x)\) – полное сопротивление (длина) участка поврежденной линии между точкой ОКЗ и шинами потребителя.
- \(\dot I_к\) – ток ОКЗ, протекающий через защитно-коммутационный аппарат линии (в данном примере защита линии осуществляется предохранителем с плавкой вставкой);
- \(\dot I_{к1.1}\) – ток ОКЗ, протекающий по участку \(L_x\) поврежденной линии;
- \(\dot I_{к1.2}\) – ток ОКЗ, протекающий по участку \(L-L_x\) поврежденной линии;
- \(\dot I_{к2}…\dot I_{кN}\) – токи ОКЗ, протекающие по неповрежденным линиям.
Очевидно (1-й закон Кирхгофа), что:
\(\dot I_к=\dot I_{к1.1}+\dot I_{к1.2}\) (7)
\(\displaystyle {\dot I_{к1.2}=\dot I_{к2}+…+\dot I_{кN}=\sum_{i=2}^{N}{\dot I_{к}}_i}\) (8)
где \(\dot I\) – вектор тока ОКЗ.
Эквивалентное полное сопротивление паралельно соединенных линий току ОКЗ в этом случае рассчитывается следующим образом:
\(\displaystyle {{\underline Z_{экв}=\underline Z_x||\left(\underline Z_{л}-\underline Z_{x}+\frac {\underline Z_{л}}{N-1}\right)}}\) (9)
Выполним некоторые преобразования для простоты и наглядности последующего анализа (9).
Исходя из (1), можно записать следующее равенство:
\(\displaystyle {\frac {\underline Z_{л}}{L}=\frac {\underline Z_{x}}{L_{x}}=\underline Z_{пог}}\) (10),
следовательно
\(\displaystyle {\frac {\underline Z_{x}}{\underline Z_{л}}=\frac {L_x}{L}}\) (11)
Теперь переведем неизвестное сопротивление \(\underline Z_x\), неизвестную длину \(L_x\) и эквивалентное сопротивление \(\underline Z_{экв}\) из абсолютных единиц в относительные. За базисные величины возьмем \(\underline Z_л\) и \(L\).
\(\displaystyle {{Z_{x}}^*=\frac {\underline Z_{x}}{\underline Z_{л}}}\) (12)
\(\displaystyle {{L_{x}}^*=\frac {L_{x}}{L}}\) (13)
\(\displaystyle {{Z_{экв}}^*=\frac {\underline Z_{экв}}{\underline Z_{л}}}\) (14)
Учитывая (12) и (13), можно переписать (11) в следующем виде:
\({Z_{x}}^*={L_x}^*\) (15)
Теперь разделим левую и правую части уравнения (9) на \(\underline Z_л\).
Учитывая (12), (13), (14) и (15) получим:
\( \displaystyle {{{Z_{экв}}^*={L_x}^*||\left(1-{L_x}^*+\frac {1}{N-1}\right)}={L_x}^*||\left(\frac {N}{N-1}-{L_x}^*\right)}\) (16)
В полной записи (16) имеет вид:
\( \displaystyle { {Z_{экв}}^*= \frac {{L_x}^*\cdot \left(\frac {N}{N-1}-{L_x}^*\right)} {{L_x}^*+\frac {N}{N-1}-{L_x}^*}= \frac {{L_x}^*\cdot \frac {N}{N-1}-{({L_x}^*)}^2} {\frac {N}{N-1}}=\\= {L_x}^*-{({L_x}^*)}^2\cdot \frac {N-1}{N} } \) (17)
Величина \({Z_{экв}}^*\) является функцией двух переменных — \({L_x}^*\) и \(N\).
\({Z_{экв}}^*=f({L_x}^*,N)\) (18)
В практической задаче количество параллельных линий \(N\) заранее известно, что позволяет упростить анализ (18) и свести задачу к поиску одной переменной \({L_x}^*\).
Графики функций (18) при фиксированном \(N\) см. на рис.3.
Рис. 3. Графики функции \({Z_{экв}}^*=f({L_x}^*,N)\) при \(N=2, 3, 4, 5, 100\).
Найдем такое значение аргумента \({L_x}^*\), при котором функция примет максимальное значение:
\({Z_{экв}}^*=f({L_x}^*,N)\rightarrow max\) (19)
Для этого найдем производную функции и приравняем к нулю.
\( \displaystyle { \frac {d{Z_{экв}}^*}{d{L_x}^*}= 1-2\cdot {L_x}^*\cdot \frac {N-1}{N}=0 } \) (20)
\( \displaystyle { {L_x}^*= \frac {1}{2}\cdot \frac {N}{N-1} } \) (21)
Подставив (21) в (17) получим максимальное значение эквивалентного сопротивления:
\( \displaystyle { {Z_{экв.max}}^*= \frac {1}{4}\cdot \frac {N}{N-1} } \) (22)
Очевидно, что при \(N\rightarrow \infty\): \({L_x}^*\rightarrow 1/2^+\), а \({Z_{экв.max}}^*\rightarrow 1/4^+\).
Что же значат эти цифры? Вспомним формулы (12) – (15).
Получается, что \(L_x\) не может быть меньше половины \(L\), и \(Z_{экв.max}\) не может быть меньше четверти \(Z_л\) при любом \(N\).
В табл. 1 приведены значения длины и эквивалентного сопротивления при \(N=2, 3, 4, 5\).
Таблица 1.
| Кол-во \(N\) |
\({L_x}^*\) \(({Z_x}^*)\) |
\({Z_{экв.max}}^*\) | \({Z_{экв}}^*\) (при ОКЗ в конце линии) |
\(\displaystyle \frac {{Z_{экв.max}}^*}{{Z_{экв}}^*}\) |
| 2 | 1 | 0,5 | 0,5 | 1 |
| 3 | 0,75 | 0,375 | 0,333 | 1,125 |
| 4 | 0,667 | 0,333 | 0,25 | 1,333 |
| 5 | 0,625 | 0,313 | 0,2 | 1,565 |
| ∞ | 0,5+ | 0,25+ | 0+ | ∞ |
Примечательно то, что во многих компьютерных программах по расчету минимального тока ОКЗ расчетным режимом считается ОКЗ в конце линии. В таких программах при количестве параллельно соединенных проводников в питающей линии имеет смысл ставить следующие значения (см. табл.1):
- \(N=2\): в программе \(N=2\);
- \(N=3\): в программе можно поставить \(N=3\), но надо иметь ввиду, что максимальное эквивалентное сопротивление будет выше на 13%;
- \(N=4\): в программе \(N=3\);
- \(N=5\): в программе \(N=3\) (расчет с запасом 6%).
В любом случае, ставить в программе число \(N>4\) не рекомендуется, т.к. результаты расчета минимального тока будут завышены.
Выводы.
1. При определении величины минимального тока КЗ в линии, состоящей из параллельно соединенных проводников, положение расчетной точки ОКЗ на схеме определяется количеством этих проводников.
2. Формула определения максимального эквивалентного сопротивления линии выглядит следующим образом:
\( \displaystyle { \underline Z_{экв.max}= \frac {\underline Z_л}{4}\cdot \frac {N}{N-1} } \) (23)
Эту статью можно обсудить ниже в комментариях или на форуме.
Здравствуйте.
В статье рассмотрен случай расчета линии, состоящей из параллельных кабелей на одном участке.
Можно ли применять данную теорию для линии, состоящей из нескольких последовательных участков, каждый из которых состоит из разного числа параллельных кабелей?
Можно ли для расчета такой линии прийти к какому-то универсальному решению?
Здравствуйте.
Принцип, разумеется, универсален. Вот только практическая ценность подобных расчётов отсутствует. Если есть несколько участков линии с разными сечениями проводников, то в начале каждого участка, как правило, устанавливается аппарат защиты. Если речь идёт о воздушной линии, то я сомневаюсь, что на ВЛ предусматривается количество параллельных проводников больше 2.